Ⅰ. 경우의 수

1. 여러 가지 순열 — 중복순열

교과서 11~13쪽
성취기준   여러 가지 순열의 수를 구할 수 있다.
1

중복순열이란 무엇일까?

탐구 자물쇠를 풀어라!

0~9로 이루어진 4자리 비밀번호를 5회 안에 맞혀 보세요.

성공 0 / 시도 0

개념 중복순열

서로 다른 n개에서 중복을 허용하여 r개를 택하여 일렬로 나열하는 것을 중복순열이라 한다.

기호: \({}_{n}\Pi_{r}\)

\({}_{n}\Pi_{r} = n^{r}\)
순열(\({}_{n}\mathrm{P}_{r}\))은 중복 불허, 중복순열(\({}_{n}\Pi_{r}\))은 중복 허용

비주얼 개념 2개의 문자에서 중복순열

문자 집합: {a, b} → 3개를 택하는 중복순열 \({}_{2}\Pi_{3}\)

2개의 문자 {a, b}에서 중복을 허용하여 3개를 택해 나열하려면?

문자 집합: {a, b} → 3개를 택하는 중복순열 \({}_{2}\Pi_{3}\)
1번째 자리: a 또는 b → 2가지

Step 1: 첫 번째 자리 → a 또는 b, 2가지

문자 집합: {a, b} → 3개를 택하는 중복순열 \({}_{2}\Pi_{3}\)
1번째 자리: a 또는 b → 2가지
2번째 자리: 각각에 대해 a 또는 b → \(2 \times 2 = \) 4가지

Step 2: 두 번째 자리 → 첫 번째와 무관하게 a 또는 b, 누적 \(2 \times 2 = 4\)가지

문자 집합: {a, b} → 3개를 택하는 중복순열 \({}_{2}\Pi_{3}\)
1번째 자리: a 또는 b → 2가지
2번째 자리: 각각에 대해 a 또는 b → \(2 \times 2 = \) 4가지
3번째 자리: 각각에 대해 a 또는 b → \(2 \times 2 \times 2 = \) 8가지

Step 3: 세 번째 자리 → 마찬가지로 2가지, 누적 \(2 \times 2 \times 2 = 8\)가지

문자 집합: {a, b} → 3개를 택하는 중복순열 \({}_{2}\Pi_{3}\)
1번째 자리: a 또는 b → 2가지
2번째 자리: 각각에 대해 a 또는 b → \(2 \times 2 = \) 4가지
3번째 자리: 각각에 대해 a 또는 b → \(2 \times 2 \times 2 = \) 8가지
\(\therefore {}_{2}\Pi_{3} = 2^{3} = \boldsymbol{8}\)
aaa, aab, aba, abb, baa, bab, bba, bbb

\({}_{2}\Pi_{3} = 2^{3} = 8\) — 모든 경우를 나열하면 aaa, aab, aba, abb, baa, bab, bba, bbb

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문제 1 다음 중복순열의 수를 구하시오.
⑴ \({}_{6}\Pi_{3}\)
▶ 정답 확인
정답
\({}_{6}\Pi_{3} = 6^{3} = \boldsymbol{216}\)
⑵ \({}_{4}\Pi_{4}\)
▶ 정답 확인
정답
\({}_{4}\Pi_{4} = 4^{4} = \boldsymbol{256}\)
⑶ \({}_{7}\Pi_{2}\)
▶ 정답 확인
정답
\({}_{7}\Pi_{2} = 7^{2} = \boldsymbol{49}\)
2

중복순열의 활용

문제 2 바이올린과 피아노 중 하나를 택하여 매일 하나의 악기만 연습하기로 할 때, 7일 동안의 연습 계획을 세우는 경우의 수를 구하시오.
▶ 정답 확인
정답
매일 2가지 중 택 1 → \({}_{2}\Pi_{7} = 2^{7} = \boldsymbol{128}\)
예제 1 세 자리 자연수의 개수

4개의 숫자 0, 1, 2, 3에서 중복을 허용하여 만들 수 있는 세 자리 자연수의 개수를 구하시오.

풀이

STEP 1   백의 자리: 0을 제외한 1, 2, 3 → 3가지

STEP 2   십의 자리, 일의 자리: 각각 0, 1, 2, 3 → 4가지씩

\(\therefore\) \(3 \times 4 \times 4 = \boldsymbol{48}\)

📝 스스로 하기

5개의 숫자 0, 1, 2, 3, 4에서 중복을 허용하여 만들 수 있는 네 자리 자연수의 개수를 구하시오.

▶ 정답 확인
정답
천의 자리: 0 제외 4가지, 백·십·일의 자리: 각 5가지 → \(4 \times 5 \times 5 \times 5 = \boldsymbol{500}\)
문제 3 0부터 9까지의 숫자를 사용하여 네 자리 비밀번호를 만들려고 한다.
⑴ 만들 수 있는 비밀번호의 수를 구하시오.
▶ 정답 확인
정답
\({}_{10}\Pi_{4} = 10^{4} = \boldsymbol{10000}\)
⑵ 첫째 자리가 홀수인 비밀번호의 수를 구하시오.
▶ 정답 확인
정답
첫째 자리: 1, 3, 5, 7, 9 → 5가지, 나머지: 각 10가지 → \(5 \times 10^{3} = \boldsymbol{5000}\)
문제 4 5명의 학생이 방송반 또는 댄스반 중 하나에 가입하려고 한다.
⑴ 5명이 반에 가입하는 경우의 수를 구하시오.
▶ 정답 확인
정답
각 학생마다 2가지 선택 → \({}_{2}\Pi_{5} = 2^{5} = \boldsymbol{32}\)
⑵ 각 반에 적어도 1명 이상이 가입하는 경우의 수를 구하시오.
▶ 정답 확인
정답
전체 − (한 반에 몰리는 경우) = \(32 - 2 = \boldsymbol{30}\)
문제 5 4개의 문자 \(a, b, c, d\)에서 중복을 허락하여 5개를 택해 일렬로 나열할 때, 양 끝에 서로 다른 문자가 오는 경우의 수는?
① 756② 768③ 780④ 792⑤ 804
▶ 정답 확인
정답
② 768
전체 − 양 끝 같은 문자 = \(4^{5} - 4 \times 4^{3} = 1024 - 256 = \boldsymbol{768}\)
문제 6 집합 \(X = \{a, b, c, d, e\}\)에서 집합 \(Y = \{1, 2, 3\}\)으로의 함수 \(f\) 중에서 \(f(a) + f(b) \neq 4\)인 함수의 개수는?
① 150② 156③ 162④ 168⑤ 174
▶ 정답 확인
정답
③ 162
전체 − \(f(a)+f(b)=4\)인 경우 = \(3^{5} - 3 \times 3^{3} = 243 - 81 = \boldsymbol{162}\)
\(f(a)+f(b)=4\): \((1,3),(2,2),(3,1)\) 3가지, 나머지 3명 → \(3^{3}=27\)
문제 7 \({}_{2n}\Pi_{3} = 64\)를 만족시키는 자연수 \(n\)의 값을 구하시오.
▶ 정답 확인
정답
\({}_{2n}\Pi_{3} = (2n)^{3} = 64 = 4^{3}\)
\(2n = 4\) → \(\boldsymbol{n = 2}\)
문제 8 전체집합 \(U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\)의 두 부분집합 \(A, B\)가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) \(A \cap B = \varnothing\)
(나) \(n(A \cup B) = 5\)
두 집합 \(A, B\)의 모든 순서쌍 \((A, B)\)의 개수는?
① 180② 186③ 192④ 198⑤ 204
▶ 정답 확인
정답
③ 192
\(A \cup B\)에 포함되지 않는 원소 1개 선택: \({}_{6}\mathrm{C}_{1} = 6\)가지
나머지 5개 원소를 \(A\) 또는 \(B\)에 배정: \(2^{5} = 32\)가지
∴ \(6 \times 32 = \boldsymbol{192}\)
문제 9 집합 \(X = \{1, 2, 3, 4, 5\}\)에 대하여 다음 조건을 만족시키는 \(X\)에서 \(X\)로의 함수 \(f\)의 개수는?
집합 \(X\)의 서로 다른 두 원소 \(a, b\)에 대하여 \(a = b + 3\)이면 \(f(a) = f(b)\)이다.
① 25② 50③ 75④ 100⑤ 125
▶ 정답 확인
정답
⑤ 125
조건에서: \(f(4) = f(1)\), \(f(5) = f(2)\)
독립 변수: \(f(1), f(2), f(3)\) 각 5가지
∴ \(5 \times 5 \times 5 = 5^{3} = \boldsymbol{125}\)
확률과 통계 · Ⅰ. 경우의 수 · 1. 여러 가지 순열

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