Ⅰ. 경우의 수

1. 여러 가지 순열 — 같은 것이 있는 순열

교과서 14~15쪽
성취기준   여러 가지 순열의 수를 구할 수 있다.
1

같은 것이 있는 순열의 수는 어떻게 구할까?

탐구 격자 위의 최단 경로

1단계   아래 2×2 격자에서 A → B 최단 경로를 손으로 그려 보고, 총 몇 가지인지 맞혀 보세요.

A B

격자 위를 터치하여 경로를 그려 보세요 (손을 떼면 사라집니다)

최단 경로는 총 가지

단계별 탐구 — 같은 것이 있는 순열의 유도

5개의 문자 a, a, b, b, b를 일렬로 나열하려면?
같은 문자가 있어서 단순히 5!로 구할 수 없다.
구별하기: \(a_1, a_2, b_1, b_2, b_3\)으로 표시하면
5개 모두 다른 문자 → 전체 나열: \(5! = 120\)가지
하지만 \(a_1, a_2\)는 같은 a이므로 \(2!\)가지씩 중복
또한 \(b_1, b_2, b_3\)은 같은 b이므로 \(3!\)가지씩 중복
구하는 경우의 수를 \(k\)라 하면
\(k \times (2! \times 3!) = 5!\)
\(k = \dfrac{5!}{2! \times 3!} = \dfrac{120}{2 \times 6} = 10\)
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개념 같은 것이 있는 순열의 수

\(n\)개 중에서 같은 것이 각각 \(p\)개, \(q\)개, …, \(r\)개씩 있을 때, \(n\)개를 모두 일렬로 나열하는 경우의 수:

\(\dfrac{n!}{p!\,q!\,\cdots\,r!}\)   (단, \(p + q + \cdots + r = n\))

비주얼 개념 — 1, 1, 2, 2의 나열

4개의 숫자 1, 1, 2, 2를 일렬로 나열하는 경우의 수는?
전체: \(4! = 24\)
1이 2개 → \(2!\)배 중복,   2가 2개 → \(2!\)배 중복
\(\dfrac{4!}{2! \times 2!} = \dfrac{24}{4} = 6\)
6가지 나열:
1122   1212   1221
2112   2121   2211
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2

같은 것이 있는 순열의 활용

문제 5 다음 문자를 일렬로 나열하는 경우의 수를 구하시오.
⑴ b, a, n, a, n, a
⑵ m, i, s, s, i, s, s, i, p, p, i
▶ 정답 확인
정답
⑴ banana: a 3개, n 2개, b 1개 → \(\dfrac{6!}{3!\,2!\,1!} = \dfrac{720}{12} = \boldsymbol{60}\)
⑵ mississippi: s 4개, i 4개, p 2개, m 1개 → \(\dfrac{11!}{4!\,4!\,2!\,1!} = \boldsymbol{34650}\)
예제 2 — 최단거리로 가는 경우의 수

오른쪽 그림과 같은 바둑판 모양의 도로에서 A 지점에서 B 지점까지 최단거리로 가는 경우의 수를 구하시오.

A B
풀이
A에서 B까지 최단거리로 가려면
→ 방향으로 4번, ↑ 방향으로 2번, 총 6번 이동해야 한다.
이는 →, →, →, →, ↑, ↑ 의 6개를 일렬로 나열하는 것과 같다.
같은 것이 있는 순열이므로:
\(\dfrac{6!}{4!\,2!} = \dfrac{720}{24 \times 2} = \boldsymbol{15}\)

단계별 탐구 — 최단경로와 같은 것이 있는 순열

A B
A(좌하단)에서 B(우상단)까지 격자를 따라 최단거리로 이동
A → B: → 방향 4번, ↑ 방향 2번 = 총 6번 이동
경로 예시: →→↑→→↑, ↑→→→↑→, …
"→→→→↑↑"를 나열하는 문제
→ 4개(같은 것), ↑ 2개(같은 것) → 같은 것이 있는 순열!
\(\dfrac{6!}{4!\,\times\,2!} = \dfrac{720}{24 \times 2} = \dfrac{720}{48}\)
\(= 15\)가지
1 / 4
문제 6 오른쪽 그림과 같은 바둑판 모양의 도로에서 최단거리로 가는 경우의 수를 구하시오.
⑴ 집에서 도서관까지 가는 경우의 수
⑵ 집에서 편의점을 거쳐 도서관까지 가는 경우의 수
▶ 정답 확인
정답
⑴ →5번, ↑4번 → \(\dfrac{9!}{5!\,4!} = \boldsymbol{126}\)
⑵ 집→편의점: →3, ↑2 → \(\dfrac{5!}{3!\,2!} = 10\),   편의점→도서관: →2, ↑2 → \(\dfrac{4!}{2!\,2!} = 6\)
    곱의 법칙: \(10 \times 6 = \boldsymbol{60}\)
문제 7 집합 \(X=\{1,\,2,\,4,\,8\}\)에서 \(X\)로의 함수 \(f\) 중에서 \(f(1) \times f(2) \times f(4) \times f(8) = 8\)을 만족시키는 함수의 개수는?
 ① 12  ② 14  ③ 16  ④ 18  ⑤ 20
▶ 정답 확인
정답
\(\boldsymbol{⑤ \;20}\)
\(X\)의 원소를 \(2\)의 거듭제곱으로 나타내면 \(X=\{2^0,\,2^1,\,2^2,\,2^3\}\)
\(f(1) \cdot f(2) \cdot f(4) \cdot f(8) = 8 = 2^3\)이므로 각 함숫값의 지수를 \(a,\,b,\,c,\,d\)라 하면
\(a+b+c+d=3\)  (\(a,b,c,d \in \{0,1,2,3\}\))
∴ \(\mathrm{H}(4,\,3)=\dbinom{6}{3}=\boldsymbol{20}\)
문제 8 그림과 같은 바둑판 모양의 도로망에서 A지점에서 출발하여 B지점까지 최단 거리로 가는 경우의 수는?
A B
 ① 18  ② 21  ③ 24  ④ 27  ⑤ 30
▶ 정답 확인
정답
\(\boldsymbol{② \;21}\)
계단형 격자의 각 꼭짓점에 경로 수를 적어 가면:
5 — 13 — 21(B) |    |    | 2 — 5 — 8 — 8 |    |    | 1 — 2 — 3 — 3 |    |    | 1 — 1 — 1(A)
∴ \(\boldsymbol{21}\)
문제 9 빨간 공 3개, 노란 공 2개, 흰 공 1개를 일렬로 나열할 때, 양 끝에 놓인 공의 색이 같도록 나열하는 경우의 수는? (단, 같은 색의 공끼리는 서로 구별하지 않는다.)
 ① 12  ② 14  ③ 16  ④ 18  ⑤ 20
▶ 정답 확인
정답
\(\boldsymbol{③ \;16}\)
(i) 양 끝이 빨간 공: 나머지 빨1, 노2, 흰1 배열 → \(\dfrac{4!}{1!\,2!\,1!} = 12\)
(ii) 양 끝이 노란 공: 나머지 빨3, 흰1 배열 → \(\dfrac{4!}{3!\,1!} = 4\)
∴ \(12 + 4 = \boldsymbol{16}\)
문제 10 숫자 1, 2, 3, 4, 5, 5, 5가 하나씩 적힌 7장의 카드를 일렬로 나열할 때, 1이 적힌 카드와 2가 적힌 카드가 3이 적힌 카드보다 모두 왼쪽에 있도록 나열하는 경우의 수는? (단, 같은 숫자가 적힌 카드끼리는 서로 구별하지 않는다.)
 ① 220  ② 240  ③ 260  ④ 280  ⑤ 300
▶ 정답 확인
정답
\(\boldsymbol{④ \;280}\)
전체 배열: \(\dfrac{7!}{3!} = 840\)
1, 2, 3의 순서: \(3! = 6\)가지 중 1<3이고 2<3인 경우는 (1,2,3), (2,1,3)의 2가지
∴ \(840 \times \dfrac{2}{6} = \boldsymbol{280}\)
문제 11 좌표평면 위의 원점에 점 P가 있다. 한 개의 동전을 던져 다음 규칙에 따라 점 P를 이동시킨다.
(가) 앞면이 나오면 \(x\)축의 양의 방향으로 1만큼 이동한다.
(나) 뒷면이 나오면 \(y\)축의 양의 방향으로 2만큼 이동한다.
이 규칙으로 점 P를 7번 이동시킬 때, 원점에 있는 점 P가 점 \((3,\,8)\)로 이동하게 되는 경우의 수는?
 ① 35  ② 40  ③ 45  ④ 50  ⑤ 55
▶ 정답 확인
정답
\(\boldsymbol{① \;35}\)
\(x\)좌표 3 → 앞면 3번,  \(y\)좌표 8 → 뒷면 4번 \((2 \times 4 = 8)\)
\(3 + 4 = 7\) (전체 횟수와 일치)   ∴ \(\dbinom{7}{3} = \boldsymbol{35}\)
확률과 통계 · Ⅰ. 경우의 수 · 1. 여러 가지 순열

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