Ⅰ. 경우의 수

1. 여러 가지 순열 — 스스로 확인하기

교과서 16쪽
성취기준   중복순열, 같은 것이 있는 순열을 이해하고, 그 순열의 수를 구할 수 있다.
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스스로 확인하기

다음 문제를 풀어 이 단원에서 배운 내용을 확인해 보자.

문제 1 3개의 숫자 0, 1, 2에서 중복을 허용하여 만들 수 있는 네 자리 자연수의 개수를 구하시오.
⑱ 네 자리 자연수의 개수
⑲ 네 자리 짝수의 개수
▶ 정답 확인
정답
⑱ 천의 자리에는 0이 올 수 없으므로 1, 2 중 하나(2가지), 나머지 세 자리에는 0, 1, 2 중 중복을 허용하여 선택하므로
\(2 \times 3^3 = 2 \times 27 = \boldsymbol{54}\)

⑲ (짝수) = (일의 자리가 0인 경우) + (일의 자리가 2인 경우)
• 일의 자리가 0인 경우: 천의 자리 2가지, 백·십의 자리 각 3가지 → \(2 \times 3^2 = 18\)
• 일의 자리가 2인 경우: 천의 자리 2가지, 백·십의 자리 각 3가지 → \(2 \times 3^2 = 18\)
\(18 + 18 = \boldsymbol{36}\)
문제 2 6명의 학생이 코미디, 액션, 스포츠 영화 중 하나를 선택하여 관람할 때, 영화를 선택하는 경우의 수를 구하시오.
▶ 정답 확인
정답
6명 각각이 3개의 장르 중 하나를 선택하므로 중복순열
\({}_{3}\Pi_{6} = 3^6 = \boldsymbol{729}\)
문제 3 success의 7개의 문자를 모두 일렬로 나열할 때, 양 끝에 u와 e가 오는 경우의 수를 구하시오.
▶ 정답 확인
정답
success의 문자 구성: s(3개), u(1개), c(2개), e(1개) — 총 7개

양 끝에 u, e를 배치하는 경우: 2가지 (u□□□□□e 또는 e□□□□□u)
가운데 5자리에 s, s, s, c, c를 나열하는 경우: 같은 것이 있는 순열
\[\frac{5!}{3! \times 2!} = \frac{120}{6 \times 2} = 10\] \(2 \times 10 = \boldsymbol{20}\)
문제 4 다음 그림과 같이 A 지점에서 B 지점까지 최단 거리로 가는 경우의 수를 구하시오. (단, P, Q 지점을 반드시 지난다.)
참고   격자 경로에서 A→P→Q→B로 나누어 각 구간의 최단 경로 수를 곱합니다.
▶ 정답 확인
정답
A→P, P→Q, Q→B 각 구간의 최단 경로 수를 구하여 곱한다.
• A→P: \(\dfrac{3!}{2! \times 1!} = 3\)
• P→Q: \(\dfrac{2!}{1! \times 1!} = 2\)
• Q→B: \(\dfrac{2!}{1! \times 1!} = 2\)
\(3 \times 2 \times 2 = \boldsymbol{12}\)
문제 5 \(X = \{1, 2, 3\}\)에서 \(Y = \{a, b, c, d\}\)로의 함수 중 다음을 구하시오.
⑱ 함수의 개수
⑲ 일대일함수의 개수
▶ 정답 확인
정답
⑱ X의 각 원소가 Y의 4개 원소 중 하나에 대응하므로 중복순열
\({}_{4}\Pi_{3} = 4^3 = \boldsymbol{64}\)

⑲ 일대일함수: X의 각 원소가 Y의 서로 다른 원소에 대응
\({}_{4}P_{3} = 4 \times 3 \times 2 = \boldsymbol{24}\)
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수학으로 생각 넓히기

문제 상황

서로 다른 공 4개를 상자 A, B, C에 넣는 경우의 수를 구하려고 한다. 예나와 수호의 풀이를 살펴보자.

예나의 풀이

각 공이 3개의 상자 중 하나를 선택하므로 중복순열로 생각하면
\({}_{3}\Pi_{4} = 3^{4} = 81\)

수호의 풀이

각 상자가 4개의 공 중 하나를 선택하므로 중복순열로 생각하면
\({}_{4}\Pi_{3} = 4^{3} = 64\)

문제 6 예나와 수호 중 누구의 풀이가 옳은지 판단하고, 그 이유를 설명하시오.
▶ 정답 확인
정답
예나의 풀이가 옳다.

이유: 서로 다른 공 4개를 상자에 넣을 때, 각 공(4개)이 3개의 상자 중 하나를 선택하는 것이므로 중복순열 \({}_{3}\Pi_{4} = 3^{4} = 81\)이 맞다.

수호의 풀이는 각 상자가 공을 하나 선택하는 모델인데, 여러 공이 같은 상자에 들어갈 수 있으므로 이 모델은 부적절하다.

\({}_{3}\Pi_{4} = 3^{4} = \boldsymbol{81}\)
확률과 통계 · Ⅰ. 경우의 수 · 1. 여러 가지 순열

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