Ⅰ. 경우의 수

2. 중복조합

교과서 18~21쪽
성취기준   [12확통01-02] 중복조합을 이해하고, 중복조합의 수를 구하는 방법을 설명할 수 있다.
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중복조합이란 무엇일까?

탐구 중복조합 알아보기

초코 컵케이크와 딸기 컵케이크 중에서 3개를 사려고 한다. 컵케이크를 사는 모든 경우를 나열해 보자.

▶ 정답 확인
정답
(초, 초, 초), (초, 초, 딸), (초, 딸, 딸), (딸, 딸, 딸) → 4가지

서로 다른 n개에서 중복을 허용하여 r개를 택하는 경우의 수는 어떻게 구할까?

개념 중복조합

서로 다른 n개에서 중복을 허용하여 r개를 택하는 것을 중복조합이라 한다.

기호: \({}_{n}\mathrm{H}_{r}\)

개념 중복조합의 수 — ●와 | 를 이용한 방법

서로 다른 3개에서 3개를 택하는 중복조합 \({}_{3}\mathrm{H}_{3}\)을 구해 보자.

3개의 ●와 2개의 | 를 일렬로 나열하는 같은 것이 있는 순열의 수와 같으므로

\({}_{3}\mathrm{H}_{3} = \dfrac{5!}{3! \times 2!} = 10\)

일반적으로 \({}_{n}\mathrm{H}_{r}\)는 r개의 ●와 (n−1)개의 | 를 나열하는 것이므로

\({}_{n}\mathrm{H}_{r} = {}_{n+r-1}\mathrm{C}_{r}\)
조합(\({}_{n}\mathrm{C}_{r}\))은 중복 불허, 중복조합(\({}_{n}\mathrm{H}_{r}\))은 중복 허용

체험 중복조합 일대일 대응 변환기

상자를 탭하여 공을 넣고 빼세요. 세 가지 표현이 실시간으로 연결됩니다!

① 구체적 선택 — 상자에 공 넣기
▼ 변환 ▼
② ●과 | 배열
▼ 변환 ▼
③ \({}_{n+r-1}\mathrm{C}_{r}\) — 자리 고르기

비주얼 개념 \({}_{2}\mathrm{H}_{6}\) 구하기

서로 다른 2개에서 6개를 택하는 중복조합 \({}_{2}\mathrm{H}_{6}\)

공식 \({}_{n}\mathrm{H}_{r} = {}_{n+r-1}\mathrm{C}_{r}\)를 적용해 보자.

\({}_{2}\mathrm{H}_{6}\)에서 \(n=2,\; r=6\)
Step 1: 공식에 대입 → \({}_{2}\mathrm{H}_{6} = {}_{2+6-1}\mathrm{C}_{6} = {}_{7}\mathrm{C}_{6}\)
\({}_{2}\mathrm{H}_{6} = {}_{7}\mathrm{C}_{6}\)
Step 2: \({}_{7}\mathrm{C}_{6} = {}_{7}\mathrm{C}_{1}\)   (∵ \({}_{n}\mathrm{C}_{r} = {}_{n}\mathrm{C}_{n-r}\))
\({}_{2}\mathrm{H}_{6} = {}_{7}\mathrm{C}_{1}\)
\(\therefore\; {}_{2}\mathrm{H}_{6} = {}_{7}\mathrm{C}_{1} = \boldsymbol{7}\)
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문제 1 다음 중복조합의 수를 구하시오.
⑴ \({}_{2}\mathrm{H}_{4}\)
▶ 정답 확인
정답
\({}_{2}\mathrm{H}_{4} = {}_{5}\mathrm{C}_{4} = {}_{5}\mathrm{C}_{1} = \boldsymbol{5}\)
⑵ \({}_{6}\mathrm{H}_{1}\)
▶ 정답 확인
정답
\({}_{6}\mathrm{H}_{1} = {}_{6}\mathrm{C}_{1} = \boldsymbol{6}\)
⑶ \({}_{6}\mathrm{H}_{6}\)
▶ 정답 확인
정답
\({}_{6}\mathrm{H}_{6} = {}_{11}\mathrm{C}_{6} = {}_{11}\mathrm{C}_{5} = \dfrac{11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7}{5!} = \boldsymbol{462}\)
문제 2 토마토주스, 오렌지주스, 사과주스 중에서 중복을 허용하여 8병을 사려고 한다. 주스를 사는 경우의 수를 구하시오.
▶ 정답 확인
정답
3종류에서 8병 → \({}_{3}\mathrm{H}_{8} = {}_{10}\mathrm{C}_{8} = {}_{10}\mathrm{C}_{2} = \dfrac{10 \times 9}{2} = \boldsymbol{45}\)
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중복조합의 활용

예제 1 서로 다른 항의 개수

\((a+b+c)^{4}\)의 전개식에서 서로 다른 항의 개수를 구하시오.

풀이

각 항은 \(a^{p}b^{q}c^{r}\) (단, \(p+q+r=4\), \(p, q, r \geq 0\))

이는 3개에서 4개를 택하는 중복조합과 같다.

\(\therefore\; {}_{3}\mathrm{H}_{4} = {}_{6}\mathrm{C}_{4} = {}_{6}\mathrm{C}_{2} = \dfrac{6 \times 5}{2} = \boldsymbol{15}\)

체험 분배법칙으로 중복조합 발견하기

각 괄호에서 항을 하나씩 선택하세요! 분배법칙으로 전개하면 서로 다른 항이 몇 개인지 발견할 수 있습니다.

괄호 안의 항을 하나씩 탭하세요
📝 스스로 하기

\((a+b+c)^{6}\)의 전개식에서 서로 다른 항의 개수를 구하시오.

▶ 정답 확인
정답
\({}_{3}\mathrm{H}_{6} = {}_{8}\mathrm{C}_{6} = {}_{8}\mathrm{C}_{2} = \dfrac{8 \times 7}{2} = \boldsymbol{28}\)
문제 3 다음 전개식에서 서로 다른 항의 개수를 구하시오.
⑴ \((a+b+c+d)^{3}\)
▶ 정답 확인
정답
\({}_{4}\mathrm{H}_{3} = {}_{6}\mathrm{C}_{3} = \dfrac{6 \times 5 \times 4}{3!} = \boldsymbol{20}\)
⑵ \((a+b)^{2}(x+y+z)^{5}\)
▶ 정답 확인
정답
\({}_{2}\mathrm{H}_{2} \times {}_{3}\mathrm{H}_{5} = {}_{3}\mathrm{C}_{2} \times {}_{7}\mathrm{C}_{5} = 3 \times 21 = \boldsymbol{63}\)
예제 2 방정식의 해의 개수

방정식 \(x + y + z = 7\)에 대하여 다음을 구하시오.

⑴ 음이 아닌 정수 \(x, y, z\)의 모든 순서쌍 \((x, y, z)\)의 개수

⑵ 자연수 \(x, y, z\)의 모든 순서쌍 \((x, y, z)\)의 개수

풀이

⑴ 음이 아닌 정수해 → 3개에서 7개를 택하는 중복조합

\({}_{3}\mathrm{H}_{7} = {}_{9}\mathrm{C}_{7} = {}_{9}\mathrm{C}_{2} = \dfrac{9 \times 8}{2} = \boldsymbol{36}\)

⑵ 자연수해 → \(x'=x-1, y'=y-1, z'=z-1\)로 치환하면 \(x'+y'+z'=4\)

\({}_{3}\mathrm{H}_{4} = {}_{6}\mathrm{C}_{4} = {}_{6}\mathrm{C}_{2} = \dfrac{6 \times 5}{2} = \boldsymbol{15}\)

문제 4 방정식 \(x+y+z+w=9\)에 대하여 다음을 구하시오.
⑴ 음이 아닌 정수 \(x, y, z, w\)의 모든 순서쌍의 개수를 구하시오.
▶ 정답 확인
정답
\({}_{4}\mathrm{H}_{9} = {}_{12}\mathrm{C}_{9} = {}_{12}\mathrm{C}_{3} = \dfrac{12 \times 11 \times 10}{3!} = \boldsymbol{220}\)
⑵ 자연수 \(x, y, z, w\)의 모든 순서쌍의 개수를 구하시오.
▶ 정답 확인
정답
치환 후 \(x'+y'+z'+w'=5\) → \({}_{4}\mathrm{H}_{5} = {}_{8}\mathrm{C}_{5} = {}_{8}\mathrm{C}_{3} = \dfrac{8 \times 7 \times 6}{3!} = \boldsymbol{56}\)

설명하기 중복순열과 중복조합의 차이

다음을 만족시키는 경우의 수를 각각 구하고, 그 차이를 설명해 보자.

(단, 같은 색의 공은 서로 구별하지 않고, 빈 상자가 있을 수 있다.)

⑴ 서로 다른 색의 공 6개를 서로 다른 상자 3개에 모두 나누어 넣는 경우의 수
▶ 정답 확인
정답
서로 다른 공 → 중복순열 \({}_{3}\Pi_{6} = 3^{6} = \boldsymbol{729}\)
⑵ 같은 색의 공 6개를 서로 다른 상자 3개에 모두 나누어 넣는 경우의 수
▶ 정답 확인
정답
같은 공 → 중복조합 \({}_{3}\mathrm{H}_{6} = {}_{8}\mathrm{C}_{6} = {}_{8}\mathrm{C}_{2} = \dfrac{8 \times 7}{2} = \boldsymbol{28}\)

차이를 설명해 보자.

▶ 정답 확인
풀이 예시

서로 다른 공은 각 공이 구별되므로 각 공마다 상자를 택하는 중복순열이고, 같은 공은 공이 구별되지 않으므로 상자에 넣는 공의 개수만 정하면 되어 중복조합이다.

체험 번호 붙이기 / 떼기 — 구별의 힘

같은 분배인데, 공에 번호가 있으면 경우의 수가 어떻게 달라지는지 확인해 보세요.

문제 5 검은색 볼펜 1자루, 같은 종류의 파란색 볼펜 2자루, 같은 종류의 빨간색 볼펜 3자루를 3명의 학생에게 남김없이 나누어 주는 경우의 수는? (단, 볼펜을 1자루도 받지 못하는 학생이 있을 수 있다.)
 ① 120  ② 150  ③ 180  ④ 210  ⑤ 240
▶ 정답 확인
정답
\(\boldsymbol{③ \;180}\)
검은 볼펜 1자루(구별됨) → 3명 중 1명 선택: \(3\)가지
파란 볼펜 2자루(같은 종류) → 3명에게 나누기: \({}_{3}\mathrm{H}_{2} = {}_{4}\mathrm{C}_{2} = 6\)가지
빨간 볼펜 3자루(같은 종류) → 3명에게 나누기: \({}_{3}\mathrm{H}_{3} = {}_{5}\mathrm{C}_{3} = 10\)가지
∴ \(3 \times 6 \times 10 = \boldsymbol{180}\)
문제 6 흰 공 4개와 검은 공 6개를 서로 다른 상자 3개에 남김없이 나누어 담을 때, 각 상자에 담는 흰 공의 개수가 모두 1 이상이 되도록 나누어 담는 경우의 수는? (단, 같은 색의 공끼리는 서로 구별하지 않는다.)
 ① 81  ② 84  ③ 87  ④ 90  ⑤ 93
▶ 정답 확인
정답
\(\boldsymbol{② \;84}\)
흰 공 4개 → 각 상자 1개 이상: 먼저 1개씩 배분 후 나머지 1개를 3개 상자에
  \({}_{3}\mathrm{H}_{1} = {}_{3}\mathrm{C}_{1} = 3\)가지
검은 공 6개 → 3개 상자에 자유 배분: \({}_{3}\mathrm{H}_{6} = {}_{8}\mathrm{C}_{6} = {}_{8}\mathrm{C}_{2} = 28\)가지
∴ \(3 \times 28 = \boldsymbol{84}\)
문제 7 집합 \(X = \{1,\,3,\,5,\,7,\,9\}\)에 대하여 다음 조건을 만족시키는 함수 \(f : X \to X\)의 개수를 구하시오.
집합 \(X\)의 임의의 두 원소 \(x_1,\,x_2\)에 대하여 \(x_1 < x_2\)이면 \(f(x_1) \leq f(x_2) < 8\)이다.
▶ 정답 확인
정답
\(\boldsymbol{56}\)
\(f(x_2) < 8\)이므로 \(x_2 \geq 3\)인 모든 원소의 함숫값은 \(\{1,3,5,7\}\) 중에서 선택
\(f(1) \leq f(3)\)이고 \(f(1) < 8\)이므로 \(f(1)\)도 \(\{1,3,5,7\}\) 중에서 선택
비감소함수이므로 \(f(1) \leq f(3) \leq f(5) \leq f(7) \leq f(9)\)
∴ 4개 원소에서 5개를 중복 선택 (비감소 배열): \({}_{4}\mathrm{H}_{5} = {}_{8}\mathrm{C}_{5} = {}_{8}\mathrm{C}_{3} = \boldsymbol{56}\)
문제 8 다항식 \((a+b+c)^5(a+b+c+d)\)의 전개식에서 서로 다른 항의 개수는?
 ① 41  ② 43  ③ 45  ④ 47  ⑤ 49
▶ 정답 확인
정답
\(\boldsymbol{⑤ \;49}\)
\((a+b+c)^5(a+b+c+d) = (a+b+c)^6 + d \cdot (a+b+c)^5\)
\((a+b+c)^6\)의 항 수: \({}_{3}\mathrm{H}_{6} = {}_{8}\mathrm{C}_{6} = 28\)
\(d \cdot (a+b+c)^5\)의 항 수: \({}_{3}\mathrm{H}_{5} = {}_{7}\mathrm{C}_{5} = 21\)
두 집합은 서로소 (\(d\)의 차수가 다름)   ∴ \(28 + 21 = \boldsymbol{49}\)
확률과 통계 · Ⅰ. 경우의 수 · 2. 중복조합

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