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학년 반

번호

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성취기준 [12확통01-02] 중복조합을 이해하고, 중복조합의 수를 구하는 방법을 설명할 수 있다.

문제 1다음을 만족시키는 자연수 \(n\)의 값을 구하시오.

⑴ \({}_{4}\mathrm{H}_{2} = {}_{n}\mathrm{C}_{2}\)

▶ 정답 확인

정답

\({}_{4}\mathrm{H}_{2} = {}_{5}\mathrm{C}_{2} = 10\)이므로 \({}_{n}\mathrm{C}_{2} = 10\), \(\dfrac{n(n-1)}{2} = 10\), \(n^{2} - n - 20 = 0\), \((n-5)(n+4) = 0\)
\(n \geq 2\)이므로 \(n = \boldsymbol{5}\)

⑵ \({}_{5}\mathrm{H}_{8} = {}_{n}\mathrm{C}_{4}\)

▶ 정답 확인

정답

\({}_{5}\mathrm{H}_{8} = {}_{12}\mathrm{C}_{8} = {}_{12}\mathrm{C}_{4} = 495\)이므로 \({}_{n}\mathrm{C}_{4} = 495\)
\(n = \boldsymbol{12}\)

문제 2같은 종류의 사탕 10개를 서로 다른 상자 3개에 넣으려고 한다. 빈 상자가 없도록 사탕을 모두 나누어 넣는 경우의 수를 구하시오.

▶ 정답 확인

정답

빈 상자 없이 → 각 상자에 1개씩 미리 배분, 나머지 7개를 3개 상자에 분배
\({}_{3}\mathrm{H}_{7} = {}_{9}\mathrm{C}_{7} = {}_{9}\mathrm{C}_{2} = \dfrac{9 \times 8}{2} = \boldsymbol{36}\)

문제 3두 집합 \(X = \{1, 2, 3, 4, 5\}\), \(Y = \{1, 2, 3, 4\}\)에 대하여 함수 \(f : X \to Y\)가 다음 조건을 만족시킬 때, 함수 \(f\)의 개수를 구하시오.

조건

집합 \(X\)의 임의의 두 원소 \(x_{1},\; x_{2}\)에 대하여

\(x_{1} < x_{2}\)이면 \(f(x_{1}) \leq f(x_{2})\)

▶ 정답 확인

정답

\(f(x_{1}) \leq f(x_{2})\)이므로 증가하는(비감소) 함수
\(Y = \{1, 2, 3, 4\}\)에서 중복을 허용하여 5개를 택하는 중복조합
\({}_{4}\mathrm{H}_{5} = {}_{8}\mathrm{C}_{5} = {}_{8}\mathrm{C}_{3} = \dfrac{8 \times 7 \times 6}{3!} = \boldsymbol{56}\)

체험 증가함수 대응 만들기

\(X\)의 원소에서 \(Y\)의 원소로 드래그하여 대응시켜 보세요.

문제 4오른쪽 그림과 같이 점수가 표시된 과녁에 화살을 5발 쏘아 점수를 얻는 경기를 하려고 한다. 화살 5발을 모두 과녁에 맞혔을 때 점수의 합계가 22점 이하가 되는 경우의 수를 구하시오. (단, 화살이 과녁의 경계에 맞는 경우는 없다.)

3점

4점

5점

▶ 정답 확인

정답

5발 모두 맞힘 → 각 화살은 3, 4, 5점 중 하나

3점에 \(x\)발, 4점에 \(y\)발, 5점에 \(z\)발 → \(x+y+z=5\)

총점 = \(3x+4y+5z = 15+y+2z \leq 22\) → \(y+2z \leq 7\)

\(z\)	\(y\)의 범위	경우의 수
0	\(0 \leq y \leq 5\)	6
1	\(0 \leq y \leq 4\)	5
2	\(0 \leq y \leq 3\)	4
3	\(0 \leq y \leq 1\)	2

\(\therefore\; 6+5+4+2 = \boldsymbol{17}\)

문제 5평면 위에 평행한 두 직선 \(l\), \(m\)이 있다. 직선 \(l\) 위에 서로 다른 세 점 A, B, C가 있고, 직선 \(m\) 위에 서로 다른 4개의 점이 있다. 세 점 A, B, C를 각각 직선 \(m\) 위의 한 점과 선분으로 연결할 때, 직선 \(m\) 위가 아닌 곳에서 두 선분이 만나지 않도록 하는 모든 경우의 수를 구하시오.

▶ 정답 확인

정답

직선 \(m\) 위의 4개의 점을 P, Q, R, S라 하면

4개의 점에서 중복을 허용하여 3개를 택한 뒤 순서대로 A, B, C와 연결

\(\therefore\; {}_{4}\mathrm{H}_{3} = {}_{6}\mathrm{C}_{3} = \dfrac{6 \times 5 \times 4}{3!} = \boldsymbol{20}\)

수학으로 생각 넓히기

탐구 체험 학습 장소 선택

10명의 학생이 A, B, C 세 곳에서 한 곳으로 체험 학습을 가기로 하고, 각자 가고 싶은 곳을 선택하려고 한다.

⑴ 모든 학생이 A, B, C 중 한 곳만 선택했을 때, 나올 수 있는 경우의 수를 구하시오.

▶ 정답 확인

정답

A, B, C를 선택한 학생 수를 각각 \(x, y, z\)라 하면 \(x+y+z=10\)

\({}_{3}\mathrm{H}_{10} = {}_{12}\mathrm{C}_{10} = {}_{12}\mathrm{C}_{2} = \dfrac{12 \times 11}{2} = \boldsymbol{66}\)

⑵ 모든 학생이 A, B, C 중 서로 다른 두 곳을 선택했을 때, 나올 수 있는 경우의 수를 구하시오.

▶ 정답 확인

정답

두 곳 선택: {A, B}, {B, C}, {A, C} → 3가지 조합

각 조합을 선택한 학생 수를 \(a, b, c\)라 하면 \(a+b+c=10\)

\({}_{3}\mathrm{H}_{10} = {}_{12}\mathrm{C}_{10} = {}_{12}\mathrm{C}_{2} = \dfrac{12 \times 11}{2} = \boldsymbol{66}\)

Level 1 기초 연습

문제 1자연수 \(n\)에 대하여 \({}_{3}\mathrm{H}_{n} = 45\)일 때, \({}_{n}\mathrm{H}_{3}\)의 값은?

① 100 ② 105 ③ 110 ④ 115 ⑤ 120

▶ 정답 확인

정답

\({}_{3}\mathrm{H}_{n} = {}_{n+2}\mathrm{C}_{2} = \dfrac{(n+2)(n+1)}{2} = 45\)

\((n+2)(n+1) = 90\) → \(n^{2}+3n-88=0\) → \((n+11)(n-8)=0\)

\(n=8\) (자연수)

\(\therefore\; {}_{8}\mathrm{H}_{3} = {}_{10}\mathrm{C}_{3} = \dfrac{10 \times 9 \times 8}{3!} = \boldsymbol{⑤ \; 120}\)

문제 2빨간색 카드 3장과 노란색 카드 4장을 네 학생 A, B, C, D에게 남김없이 나누어 줄 때, 학생 A가 받는 카드의 개수가 1이 되도록 나누어 주는 경우의 수는? (단, 카드를 받지 못하는 학생이 있을 수 있고, 같은 색의 카드끼리는 서로 구별하지 않는다.)

① 160 ② 170 ③ 180 ④ 190 ⑤ 200

▶ 정답 확인

정답

A가 빨간 1장을 받는 경우:

나머지 빨간 2장, 노란 4장 → B, C, D 배분

\({}_{3}\mathrm{H}_{2} \times {}_{3}\mathrm{H}_{4} = {}_{4}\mathrm{C}_{2} \times {}_{6}\mathrm{C}_{4} = 6 \times 15 = 90\)

A가 노란 1장을 받는 경우:

나머지 빨간 3장, 노란 3장 → B, C, D 배분

\({}_{3}\mathrm{H}_{3} \times {}_{3}\mathrm{H}_{3} = {}_{5}\mathrm{C}_{3} \times {}_{5}\mathrm{C}_{3} = 10 \times 10 = 100\)

\(\therefore\; 90 + 100 = \boldsymbol{④ \; 190}\)

문제 3숫자 1, 2, 3, 4, 5가 하나씩 적힌 공이 숫자별로 각각 2개씩 총 10개가 들어 있는 주머니에서 4개의 공을 동시에 꺼낼 때, 5의 약수가 적힌 공의 개수가 2가 되도록 꺼내는 경우의 수는? (단, 같은 숫자가 적힌 공끼리는 서로 구별하지 않는다.)

① 12 ② 15 ③ 18 ④ 21 ⑤ 24

▶ 정답 확인

정답

5의 약수: 1, 5 → 1이 2개, 5가 2개 (총 4개)

5의 약수 적힌 공 2개 선택 (같은 숫자 구별 ✕):

(1, 1), (1, 5), (5, 5) → 3가지

나머지 2개는 {2, 3, 4}에서 (각 2개씩):

\({}_{3}\mathrm{H}_{2} = {}_{4}\mathrm{C}_{2} = 6\)가지

\(\therefore\; 3 \times 6 = \boldsymbol{③ \; 18}\)

Level 2 기본 연습

문제 1집합 \(X = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\)에 대하여 다음 조건을 만족시키는 함수 \(f : X \to X\)의 개수는?

(가) \(f(1) + f(2) + f(3) = 5\)
(나) \(f(3) \leq f(4) \leq f(5)\)

① 600 ② 606 ③ 612 ④ 618 ⑤ 624

▶ 정답 확인

정답

(가)에서 \(f(i) \geq 1\)이므로 \(f(1)+f(2)+f(3)=5\)의 해를 \(f(3)\)별로 분류:

\(f(3)\)	\((f(1),f(2),f(3))\) 수	\(f(3) \leq f(4) \leq f(5)\) 수
1	3	21
2	2	15
3	1	10

\(f(6)\)은 자유: 6가지

\(\therefore\; (3 \times 21 + 2 \times 15 + 1 \times 10) \times 6 = 103 \times 6 = \boldsymbol{④ \; 618}\)

문제 2흰 공 3개와 검은 공 4개를 3명에게 남김없이 나누어 줄 때, 모든 사람이 적어도 1개의 공을 받도록 나누어 주는 경우의 수는? (단, 같은 색의 공끼리는 서로 구별하지 않는다.)

① 91 ② 93 ③ 95 ④ 97 ⑤ 99

▶ 정답 확인

정답

전체 배분 (제한 없음):

흰 공: \({}_{3}\mathrm{H}_{3} = {}_{5}\mathrm{C}_{3} = 10\), 검은 공: \({}_{3}\mathrm{H}_{4} = {}_{6}\mathrm{C}_{4} = 15\)

전체 = \(10 \times 15 = 150\)

포함-배제 (0개 받는 사람 제외):

\(|A_{i}|\) (1명이 0개): \({}_{2}\mathrm{H}_{3} \times {}_{2}\mathrm{H}_{4} = 4 \times 5 = 20\), \(\sum = 3 \times 20 = 60\)

\(|A_{i} \cap A_{j}|\) (2명이 0개): \(1\), \(\sum = 3 \times 1 = 3\)

\(\therefore\; 150 - 60 + 3 = \boldsymbol{② \; 93}\)

스스로 확인하기 — 중복조합