Ⅰ. 경우의 수

3. 이항정리

교과서 24~27쪽
성취기준   [12확통01-03] 이항정리를 이해하고, 이를 활용하여 문제를 해결할 수 있다.
1

이항정리란 무엇일까?

탐구 이항정리 알아보기

\(a\), \(b\)가 적힌 공이 한 개씩 들어 있는 서로 다른 3개의 바구니가 있다.

⑴ 각 바구니에서 공을 한 개씩 꺼낼 때, \(a\)가 적힌 공 2개, \(b\)가 적힌 공 1개를 꺼내는 경우의 수를 구하시오.
▶ 정답 확인
정답
3개의 바구니 중 \(b\)를 꺼낼 1개를 선택 → \({}_{3}\mathrm{C}_{1} = \boldsymbol{3}\)
⑵ ⑴을 이용하여 \((a+b)^{3}\)의 전개식에서 \(a^{2}b\)의 계수를 구하시오.
▶ 정답 확인
정답
\(a^{2}b\)의 계수 = \({}_{3}\mathrm{C}_{1} = \boldsymbol{3}\)

\((a+b)^{n}\)의 전개식에서 각 항의 계수는 어떻게 구할 수 있을까?

체험 이항전개 자리 선택기

\(n\)개의 자리에서 각각 \(a\) 또는 \(b\)를 선택하세요. 같은 항이 되는 모든 선택 방법의 수가 이항계수입니다!

각 자리를 탭하여 a 또는 b를 선택하세요

개념 이항정리

\(n\)이 자연수일 때

\((a+b)^{n} = {}_{n}\mathrm{C}_{0}\,a^{n} + {}_{n}\mathrm{C}_{1}\,a^{n-1}b + \cdots + {}_{n}\mathrm{C}_{r}\,a^{n-r}b^{r} + \cdots + {}_{n}\mathrm{C}_{n}\,b^{n}\)

개념 이항계수와 일반항

\((a+b)^{n}\)의 전개식에서 각 항의 계수

\({}_{n}\mathrm{C}_{0},\; {}_{n}\mathrm{C}_{1},\; \ldots,\; {}_{n}\mathrm{C}_{r},\; \ldots,\; {}_{n}\mathrm{C}_{n}\)

을 이항계수라 하고, 항 \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\,a^{n-r}b^{r}\)을 일반항이라 한다.

비주얼 개념 \((x-2)^{4}\)를 이항정리로 전개

\((x-2)^{4}\)를 이항정리로 전개해 보자

\(a = x,\; b = -2,\; n = 4\)로 놓고 공식에 대입

공식에 대입
\({}_{4}\mathrm{C}_{0}\,x^{4} + {}_{4}\mathrm{C}_{1}\,x^{3}(-2) + {}_{4}\mathrm{C}_{2}\,x^{2}(-2)^{2} + {}_{4}\mathrm{C}_{3}\,x(-2)^{3} + {}_{4}\mathrm{C}_{4}(-2)^{4}\)
이항계수와 거듭제곱 계산
\(1 \cdot x^{4} + 4 \cdot x^{3} \cdot (-2) + 6 \cdot x^{2} \cdot 4 + 4 \cdot x \cdot (-8) + 1 \cdot 16\)
최종 결과
\(\therefore\; (x-2)^{4} = \boldsymbol{x^{4} - 8x^{3} + 24x^{2} - 32x + 16}\)
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문제 1 이항정리를 이용하여 다음 식을 전개하시오.
⑴ \((a+3)^{4}\)
▶ 정답 확인
정답
\(\boldsymbol{a^{4} + 12a^{3} + 54a^{2} + 108a + 81}\)
⑵ \((x-y)^{5}\)
▶ 정답 확인
정답
\(\boldsymbol{x^{5} - 5x^{4}y + 10x^{3}y^{2} - 10x^{2}y^{3} + 5xy^{4} - y^{5}}\)
⑶ \((2a+b)^{5}\)
▶ 정답 확인
정답
\(\boldsymbol{32a^{5} + 80a^{4}b + 80a^{3}b^{2} + 40a^{2}b^{3} + 10ab^{4} + b^{5}}\)
2

이항정리의 활용

예제 1 전개식에서 특정 항의 계수

\(\left(x + \dfrac{3}{x}\right)^{6}\)의 전개식에서 \(x^{2}\)의 계수를 구하시오.

풀이

일반항: \({}_{6}\mathrm{C}_{r}\,x^{6-r}\left(\dfrac{3}{x}\right)^{r} = {}_{6}\mathrm{C}_{r} \cdot 3^{r} \cdot x^{6-2r}\)

\(x^{2}\)의 항: \(6 - 2r = 2\) → \(r = 2\)

\(\therefore\; {}_{6}\mathrm{C}_{2} \times 3^{2} = 15 \times 9 = \boldsymbol{135}\)

📝 스스로 하기

\(\left(2x - \dfrac{1}{x}\right)^{5}\)의 전개식에서 \(x\)의 계수를 구하시오.

▶ 정답 확인
정답

일반항: \({}_{5}\mathrm{C}_{r}(2x)^{5-r}\left(-\dfrac{1}{x}\right)^{r} = {}_{5}\mathrm{C}_{r} \cdot 2^{5-r} \cdot (-1)^{r} \cdot x^{5-2r}\)

\(x\)의 항: \(5 - 2r = 1\) → \(r = 2\)

\({}_{5}\mathrm{C}_{2} \times 2^{3} \times (-1)^{2} = 10 \times 8 = \boldsymbol{80}\)

문제 2 다음을 구하시오.
⑴ \(\left(x^{2} - \dfrac{2}{x}\right)^{7}\)의 전개식에서 \(x^{5}\)의 계수
▶ 정답 확인
정답

일반항: \({}_{7}\mathrm{C}_{r}(x^{2})^{7-r}\left(-\dfrac{2}{x}\right)^{r} = {}_{7}\mathrm{C}_{r} \cdot (-2)^{r} \cdot x^{14-3r}\)

\(x^{5}\): \(14 - 3r = 5\) → \(r = 3\)

\({}_{7}\mathrm{C}_{3} \times (-2)^{3} = 35 \times (-8) = \boldsymbol{-280}\)

⑵ \(\left(4x - \dfrac{1}{2x}\right)^{8}\)의 전개식에서 상수항
▶ 정답 확인
정답

일반항: \({}_{8}\mathrm{C}_{r}(4x)^{8-r}\left(-\dfrac{1}{2x}\right)^{r} = {}_{8}\mathrm{C}_{r} \cdot 4^{8-r} \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right)^{r} \cdot x^{8-2r}\)

상수항: \(8 - 2r = 0\) → \(r = 4\)

\({}_{8}\mathrm{C}_{4} \times 4^{4} \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^{4} = 70 \times 256 \times \dfrac{1}{16} = \boldsymbol{1120}\)

예제 2 이항계수의 성질

등식 \({}_{n}\mathrm{C}_{0} + {}_{n}\mathrm{C}_{1} + {}_{n}\mathrm{C}_{2} + \cdots + {}_{n}\mathrm{C}_{n} = 2^{n}\)이 성립함을 보이시오.

증명

이항정리를 이용하여 \((1+x)^{n}\)을 전개하면

\((1+x)^{n} = {}_{n}\mathrm{C}_{0} + {}_{n}\mathrm{C}_{1}\,x + {}_{n}\mathrm{C}_{2}\,x^{2} + \cdots + {}_{n}\mathrm{C}_{n}\,x^{n}\)

이 식에 \(x = 1\)을 대입하면

\(2^{n} = {}_{n}\mathrm{C}_{0} + {}_{n}\mathrm{C}_{1} + {}_{n}\mathrm{C}_{2} + \cdots + {}_{n}\mathrm{C}_{n}\)

문제 3 다음 등식이 성립함을 보이시오.
⑴ \({}_{n}\mathrm{C}_{0} - {}_{n}\mathrm{C}_{1} + {}_{n}\mathrm{C}_{2} - \cdots + (-1)^{n}\,{}_{n}\mathrm{C}_{n} = 0\)
▶ 정답 확인
풀이

\((1+x)^{n}\)의 전개식에 \(x = -1\)을 대입하면

\(0 = {}_{n}\mathrm{C}_{0} - {}_{n}\mathrm{C}_{1} + {}_{n}\mathrm{C}_{2} - \cdots + (-1)^{n}\,{}_{n}\mathrm{C}_{n}\)

⑵ \({}_{2n}\mathrm{C}_{0} + {}_{2n}\mathrm{C}_{2} + {}_{2n}\mathrm{C}_{4} + \cdots + {}_{2n}\mathrm{C}_{2n} = {}_{2n}\mathrm{C}_{1} + {}_{2n}\mathrm{C}_{3} + {}_{2n}\mathrm{C}_{5} + \cdots + {}_{2n}\mathrm{C}_{2n-1}\)
▶ 정답 확인
풀이

이항정리를 이용하여 \((1+x)^{2n}\)을 전개한 식에 \(x = -1\)을 대입하면

\(0 = {}_{2n}\mathrm{C}_{0} - {}_{2n}\mathrm{C}_{1} + {}_{2n}\mathrm{C}_{2} - \cdots - {}_{2n}\mathrm{C}_{2n-1} + {}_{2n}\mathrm{C}_{2n}\)

따라서 \({}_{2n}\mathrm{C}_{0} + {}_{2n}\mathrm{C}_{2} + {}_{2n}\mathrm{C}_{4} + \cdots + {}_{2n}\mathrm{C}_{2n} = {}_{2n}\mathrm{C}_{1} + {}_{2n}\mathrm{C}_{3} + {}_{2n}\mathrm{C}_{5} + \cdots + {}_{2n}\mathrm{C}_{2n-1}\)

3

파스칼의 삼각형

개념 파스칼의 삼각형

\(n\)이 자연수일 때, \((a+b)^{n}\)의 전개식에서 이항계수를 배열하면

1
1    1
1    2    1
1    3    3    1
1    4    6    4    1
⋮

이와 같은 이항계수의 배열을 파스칼의 삼각형이라 한다.

\({}_{n}\mathrm{C}_{r} = {}_{n-1}\mathrm{C}_{r-1} + {}_{n-1}\mathrm{C}_{r}\)   (단, \(1 \leq r < n\))
각 단계의 수는 바로 위 단계의 이웃하는 두 수의 합. \({}_{n}\mathrm{C}_{r} = {}_{n}\mathrm{C}_{n-r}\)이므로 좌우 대칭.

체험 파스칼 삼각형 탐색기

0~2행은 채워져 있습니다. 나머지 칸에 이항계수를 입력하세요. 행을 클릭하면 전개식이 나타납니다.

행을 클릭하면 해당 전개식이 표시됩니다
문제 4 파스칼의 삼각형을 이용하여 다음 식을 전개하시오.
⑴ \((a+b)^{5}\)
▶ 정답 확인
정답

계수: 1, 5, 10, 10, 5, 1

\(\boldsymbol{a^{5} + 5a^{4}b + 10a^{3}b^{2} + 10a^{2}b^{3} + 5ab^{4} + b^{5}}\)

⑵ \((x-y)^{6}\)
▶ 정답 확인
정답

계수: 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1 (부호 교대)

\(\boldsymbol{x^{6} - 6x^{5}y + 15x^{4}y^{2} - 20x^{3}y^{3} + 15x^{2}y^{4} - 6xy^{5} + y^{6}}\)

4

연습 문제

문제 5 \({}_{4}\mathrm{C}_{1} \times 3 + {}_{4}\mathrm{C}_{2} \times 3^{2} + {}_{4}\mathrm{C}_{3} \times 3^{3} + {}_{4}\mathrm{C}_{4} \times 3^{4}\)의 값을 구하시오.
▶ 정답 확인
정답

이항정리에 의해 \((1+3)^{4} = \displaystyle\sum_{k=0}^{4} {}_{4}\mathrm{C}_{k} \cdot 3^{k}\)

\(4^{4} = {}_{4}\mathrm{C}_{0} + {}_{4}\mathrm{C}_{1} \cdot 3 + {}_{4}\mathrm{C}_{2} \cdot 3^{2} + {}_{4}\mathrm{C}_{3} \cdot 3^{3} + {}_{4}\mathrm{C}_{4} \cdot 3^{4}\)

\(\therefore\; (\text{구하는 값}) = 4^{4} - {}_{4}\mathrm{C}_{0} = 256 - 1 = \boldsymbol{255}\)

문제 6 \(\left(x + \dfrac{a}{x^{2}}\right)^{6}\)의 전개식에서 \(x^{3}\)의 계수와 상수항의 합이 72일 때, 양수 \(a\)의 값은?
 ① \(\dfrac{1}{2}\)  ② 1  ③ \(\dfrac{3}{2}\)  ④ 2  ⑤ \(\dfrac{5}{2}\)
▶ 정답 확인
정답

일반항: \({}_{6}\mathrm{C}_{r}\,x^{6-r}\!\left(\dfrac{a}{x^{2}}\right)^{r} = {}_{6}\mathrm{C}_{r}\,a^{r}\,x^{6-3r}\)

\(x^{3}\)의 항: \(6-3r=3\) → \(r=1\)  계수: \({}_{6}\mathrm{C}_{1} \cdot a = 6a\)

상수항: \(6-3r=0\) → \(r=2\)  계수: \({}_{6}\mathrm{C}_{2} \cdot a^{2} = 15a^{2}\)

\(6a + 15a^{2} = 72\)  →  \(5a^{2}+2a-24=0\)  →  \((5a+12)(a-2)=0\)

\(\therefore\; a = \boldsymbol{④ \; 2}\) (∵ \(a > 0\))

문제 7 3보다 큰 자연수 \(n\)에 대하여 같은 종류의 연필 \(n\)개를 4명의 학생에게 남김없이 나누어 줄 때, 모든 학생이 적어도 1개의 연필을 받도록 나누어 주는 경우의 수를 \(f(n)\)이라 하자.
\(f(4)+f(5)+f(6)+f(7) = {}_{m}\mathrm{C}_{3}\)을 만족시키는 자연수 \(m\)의 값은? (단, \(m \geq 3\))
 ① 4  ② 5  ③ 6  ④ 7  ⑤ 8
▶ 정답 확인
정답

같은 연필 \(n\)개를 4명에게, 각 1개 이상: \(f(n) = {}_{n-1}\mathrm{C}_{3}\)

\(n\)4567
\(f(n)\)\({}_{3}\mathrm{C}_{3}=1\)\({}_{4}\mathrm{C}_{3}=4\)\({}_{5}\mathrm{C}_{3}=10\)\({}_{6}\mathrm{C}_{3}=20\)

\(f(4)+f(5)+f(6)+f(7) = 1+4+10+20 = 35 = {}_{7}\mathrm{C}_{3}\)

\(\therefore\; m = \boldsymbol{④ \; 7}\)

문제 8 \(N = {}_{9}\mathrm{C}_{1} + {}_{9}\mathrm{C}_{2} + {}_{9}\mathrm{C}_{4} + {}_{9}\mathrm{C}_{6} + {}_{9}\mathrm{C}_{8}\)일 때, 자연수 \(N\)의 모든 소인수의 합은?
 ① 16  ② 17  ③ 18  ④ 19  ⑤ 20
▶ 정답 확인
정답

짝수 번째 합: \({}_{9}\mathrm{C}_{0}+{}_{9}\mathrm{C}_{2}+{}_{9}\mathrm{C}_{4}+{}_{9}\mathrm{C}_{6}+{}_{9}\mathrm{C}_{8} = 2^{8} = 256\)

\(N = (256 - {}_{9}\mathrm{C}_{0}) + {}_{9}\mathrm{C}_{1} = 255 + 9 = 264\)

\(264 = 2^{3} \times 3 \times 11\)

소인수: 2, 3, 11

\(\therefore\; 2+3+11 = \boldsymbol{① \; 16}\)

확률과 통계 · Ⅰ. 경우의 수 · 3. 이항정리

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